Такое употребление может встречаться в непринужденной разговорной речи, но по правилам литературного языка верно: Найди что-нибудь, чтобы сломать дверь.
Верно: мой день рождения.
Корректно: слабоуправляемое.
Оба варианта правильные. Какой из них выбрать, решает автор текста.
Верно.
Слово республика пишется с большой буквы, слово Карелия склоняется: ...в республике Карелии.