Глагол поставить употребляется в сочетании со словом вопрос лишь во фразеологических конструкциях (поставить вопрос ребром). Вне таких оборотов верно: задать вопрос.
О том, как набрать разные кавычки на клавиатуре, можно прочесть в соответствующей статье «Википедии».