Оба слова входят в состав русского литературного языка. Но похвастаться – стилистически нейтральный глагол, похвастать – разговорный.
Это вопрос не по адресу.
Это сложноподчиненное предложение. Первая часть — посчитать, вторая — всё остальное. Между частями ставится запятая.
В такой трактовке запятая уместна.
Кажется странным считать ошибкой сочетание Алексей Максимович Горький в сочинении, с учетом того факта, что такое сочетание нередко встречается в прозе и публицистике XX века, а кроме того, один из известнейших вузов Москвы носит название Литературный институт имени А. М. Горького. Но лучше не рисковать: вдруг Вам попадется слишком строгий проверяющий?
Возможно при соответствующей интонации. В этом случае следует поставить тире.