Верно: попить чайку.
Варианты различаются по значению. Д. Э. Розенталь в справочнике «Управление в русском языке» указывает: помнить кого-что 'сохранять в памяти в полном объеме'; помнить о ком-чем 'в общем виде, без подробностей'. Поэтому лучше, пожалуй: помнит Вас.
Верно: Можно я пойду попить воды?
Слова из песни на стихи Е. Винокурова: «Но помнит мир спасенный...»
Правильно раздельное написание: по их мнению. Обратите внимание: это вводные слова, необходима запятая после слова мнению.
Допустимы оба варианта: попить чая, попить чаю. Второй вариант более употребим в разговорной речи.
Логика в том, что по нормам русской орфографии пишутся слитно слова с первой иноязычной (интернациональной) частью, кончающейся на гласную -а: авиа-, дека-, мега-, медиа-, тетра-.