Правильно слитное написание: расширенные книзу брюки.
Правильно: внизу изображения (на изображении, в нижней его части); под изображением (ниже, чем изображение).
Воспользуйтесь, пожалуйста, информационно-поисковой системой «Орфографическое комментирование русского словаря».
Корректно: У неваляшки центр тяжести смещен книзу. Ср. с описанием в словарной статье.
Верно: (пойдет) на пользу всей семье; в пользу всей семьи.
Это правильно. Такая форма - еще в "Толковом словаре русского языка" под ред. Д. Н. Ушакова (1935-1940).