Корректно: политологи ломают голову.
Правильно: Численность коров составила пятьдесят одну голову.
Это устойчивое выражение, поэтому употребляется форма ед. ч. даже по отношению к нескольким лицам: Не сносить тогда вам головы.
Возможны оба варианта (с учетом контекстных различий).
Корректно: кружить голову кому-либо.
Требуется согласование по смыслу. Голов много? Тогда: они приподняли головы.
Не ищите во всем логику. Сложившаяся литературная норма: молоть, но мелю, мелет, мелют.