Правильно: Приемная комиссия ... государственного университета и в выходные дни трудилась не покладая рук.
Сочетание не покладая рук фразеологическое и не требует обособления. Впрочем, возможно и установление отношений уточнения между обстоятельствами хорошо и не покладая рук (=без устали, непрерывно) — в таком случае запятая нужна.
Устойчивый оборот: не покладая (чего?) рук. Рук - форма мн. ч. род. п.
Деепричастный оборот, представляющий собой фразеологизм, не выделяется запятыми: работает не покладая рук, сидит затаив дыхание, бежит сломя голову и т. д.