Верно: уплатить пошлину.
Кавычки не требуются.
Возможны оба варианта. Выбор зависит от того, как строится это сочетание: спонсирую (кому?) Татьяне или поездку (чью?) Татьяны.
Фразеологизм: нашего полку прибыло.
Правильно: на день рождения.
Д. п. - Козлику.
Возможны оба варианта, вариант без предлога употребляется чаще.