Для точного ответа нужно знать контекст. Вне контекста лучше: идея подарка.
Топонимы со словом посёлок обычно не склоняются. Верно: на Дне посёлка Маяк.
Да, это однокоренные слова.
Корень: подушк-, окончание: -а.
Предпочтительно: подана.
Сделанный из частей растения гречихи - гречишный, приготовленный из зёрен гречихи или продуктов их обработки - гречневый.
С родовым словом поселок название не склоняется: поселка Морки. Без родового слова верно: Морков.
Запятая ставится.
Правильно: кошечка. Но если нужно употребить именно указанный вариант, то верное написание: кошонка.