К сожалению, нам не удалось выяснить, какое из этих сочетаний выступает в качестве терминологического в спортивной гимнастике.
Может быть, поставить подножку?
Двойные скобки избегаются, лучше использовать скобки разного рисунка: (...[...]).
Выбор предлога зависит от контекста и смысла словосочетания.
Верно: медиаориентированный подход.
Оба варианта возможны, выбрать следует исходя из контекста.