Корректно: в городе Павловском Посаде. См. «Письмовник».
Правильно: по Сергиеву Посаду.
Корректно: Гаврилово-Посадский район.
Правильно: над Сергиевым Посадом.
Корректно написание строчными: слуцкие пояса.
Двойные скобки избегаются, лучше использовать скобки разного рисунка: (...[...]).
Выбор предлога зависит от контекста и смысла словосочетания.