Если далее следует пояснение, что именно сделали, чтобы подогреть интерес, верно: Ну и, чтобы подогреть интерес,..
Возможны оба варианта. Подогреть можно недостаточно горячее блюдо, разогреть - холодное блюдо.
Корректно слитное написание.
Воспользуйтесь, пожалуйста, учебным пособием Е. И. Литневской.
Пожалуйста, воспользуйтесь словарями.
Правильно: Что подгорело?
Можем. Но думаем, что это задание Вам лучше выполнить самостоятельно.