Склоняется фамилия, принадлежащая мужчине.
Да, подо Львовом - корректно. Как и под Львовом.
Правильно: испокон веков. Слово испокон происходит от древнерусского поконъ 'начало', того же корня, что искони 'вначале', конец. О родстве слов начало и конец см. в ответе на вопрос № 208821.
Рады помочь!
Правильно: полный (полон) кого-чего в значении 'содержащий что-либо, вместивший много кого-чего-либо' (шаланды, полные кефали) и полный (полон) кем-чем в значении 'наполненный чем-либо доверху, до краев; всецело увлеченный чем-либо' (канавы полны водой, душа полна любовью).
Правильно: (нет) палет. Ср.: лопата – лопат.