Все перечисленные варианты корректны.
Правильно: пойду в "Школьник".
Верно: поеду в город Москву. Но лучше в этом предложении слово город не употреблять: Поеду в Москву.
Оба варианта правильны. При множественном числе соотносительного местоимения главного предложения (те, все) сказуемое в придаточном предложении при подлежащем кто может иметь форму как единственного, так и множественного числа.
Корректно: пойду пылесосить, пойду пропылесошу.
Верно: Можно я пойду попить воды?
Корректно: поеду в село Шира, поеду в Ширу.
Правильно: в офис.
С существительным поселок употребляется предлог в: в поселок, в поселке.