В значении "ухаживать" – подбивать клинья.
Корректно: повышать в должности.
Побывать = посетить (побывать за рубежом). Побыть = быть некоторое время (побыть ответственным).
Правильно: побывать в святых местах.
Запятую ставить не нужно, так как оборот с союзом как имеет значение образа действия и его можно заменить наречием по-песьи.
Такое выражение возможно в разговорной речи.
Можно предоставить дополнительную возможность, можно увеличить шансы.
Корректны варианты: побывать на радио «Эхо Москвы», побывать на «Эхе Москвы».