Оба варианта не соответствуют литературной норме.
Верно: повесить шторы.
Правильно: вешать пальто, повесить пальто.
Можно сказать и так и так.
Все зависит от того, какие тонкие нюансы намерен передать в этом описании автор. Рекомендуем обратиться к толковым словарям русского языка за уточнениями.
Нормативно: вешать, повесить.
Указанная запятая не требуется, так как это предложение с однородными сказуемыми.