Оба варианта являются правильными. Смысловые нюансы, различающие выражения, предопределяются авторским замыслом, а его можно сверить со словарными толкованиями глаголов исполнить и выполнить.
Верно: дать поручение (=поручить); издать поручение (=опубликовать).
Правильно: обучение (чему?) написанию изложения.
Допустимо: обучение через Интернет, в Интернете, с помощью Интернета.
Грамматически сочетание корректно.
Какой смысл вкладывается в это словосочетание?
Оба варианта верны.