Правильно: стрижка каре.
О двух не составляющих пары предметах правильно: двое плавок.
Выход бывает запАсный и запаснОй. Подробнее здесь.
Правильно: платок на рту.
Названия аэропортов справочные пособия рекомендуют писать без кавычек: аэропорт Платов.
Верно: павловопосадский (от Павловский Посад); но: Павлово-Посадский район.
Согласно «Словарю собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко (М., 2010), имя композитора не склоняется: (балеты) Кара Караева.