Оба варианта верны.
Можно сказать: петь под караоке (ср.: под фонограмму), петь с караоке.
Лучше: принять чью-либо сторону (в споре, конфликте).
Форма творительного падежа мн. числа существительного троп (фигура речи) – тропами. Если же говорить о форме творительного падежа мн. числа существительного тропа (тропинка), то здесь возможны варианты. Предпочтительно тропами, но пока еще допустим и устаревающий вариант тропами.
Оба предложения составлены правильно.
Можно сказать: петь под караоке (ср.: под фонограмму), петь с караоке.
В этой поговорке не нужны ни тире, ни дефисы.