Название склонять не следует: стартовал на «Ролан Гаррос».
Да, это название заключается в кавычки.
Корректно: чемпионат Франции по теннису «Ролан Гаррос». Обратите внимание на опечатку в слове теннис.
Можно сказать: петь под караоке (ср.: под фонограмму), петь с караоке.
Правильно: директор сети. Форма родительного падежа – сети. А вот в предложном падеже возможны оба варианта: в сети и в сети