Для постановки тире нет оснований. Верно: ...а на просьбы перезвонить мне он не отзывается.
В значении "позвонить в ответ" может быть использован глагол перезвонить.
Запятая не ставится, поскольку для ее постановки нет никаких оснований.
Общеупотребительный вариант: перезвоните мне в выходные. Вариант на выходных допустим в непринужденной речи.
Правильно: звонить, звонишь, перезвонишь.
Правильно: перезвонит.