Правильно раздельное написание: двадцать первое сентября. Скорее всего, Вы неправильно поняли учительницу (возможно, она говорила о словах типа двадцатипятитысячный?).
В конце заголовков точки не ставятся. Но в школе после слов Классная работа, Диктант и т. п. точку требуют ставить. Это методическое решение. Оно обусловлено необходимостью приучить ребенка заканчивать предложение знаком препинания.
В школьной практике (особенно в младших классах) точка в конце заголовка (Диктант. Классная работа. Сочинение.) обычно сохраняется. Это делается, чтобы не мешать закреплению стереотипа: в конце предложения надо ставить точку. Поэтому учителя часто считают отсутствие точки ошибкой.
Правильно: готовиться к первому сентября (если имеется в виду день 1 сентября). Ср.: готовиться к первому школьному сентябрю в своей жизни (к месяцу сентябрю).
Перед цифрой употребляется предлог с: с 2 сентября.
Правильно: одиннадцатое сентября (в этой конструкции пропущены два слова: одиннадцатое число месяца сентября).
