Верно (о книге, которая принадлежит Пете): Петина книга.
Правильно с прописной: это Сашина (Лилина, Петина) шляпа.
Фамилия склоняется.
Правильно: Мавзолей Ленина.
Верны оба варианта.
Именно поэтому смысл предложения зависит от поставленной или непоставленной запятой.