Лучше с инфинитивом: намерение сотрудничать.
Правильно: Проведение для родителей несовершеннолетних детей мероприятий по основам детской психологии и педагогики.
Следует переформулировать, например: Благодарим Вас за инициативу, проявленную в ходе сотрудничества; Благодарим за инициативу и сотрудничество.
Фраза неудачна, лучше перестроить.
В постановке запятой нет необходимости.
Оба варианта верны.
Да, верно.
Правильно: ООО... радо сотрудничеству.
Верен первый вариант.