Верно мягкое произношение согласного Т, не [тэ].
Первый согласный т в слове паштет произносится мягко, произношение паш[тэ]т неправильно.
В значении 'печень животного как пища' слово печёнка не является разговорным и вполне может употребляться в кулинарных книгах. Печёнка – разговорное слово при употреблении в значении 'печень как орган' (печёнка заболела вместо стилистически нейтрального печень заболела) и в значении 'внутренности вообще' (отшиб все печёнки).