Мужская фамилия Пауль склоняется, женская – нет.

Корректно дефисное написание, так как прилагательное образовано от названия населенного пункта, включающего имя и фамилию (Бободжан Гафуров). Ср.: Лев-Толстовский район (от названия поселка Лев Толстой). См. также правило (пункт 3). 

Следует писать с большой буквы: Анапский район.

Рекомендуем такой вариант: передало в собственность Аургазинского муниципального района Республики Башкортостан. 

Женскую фамилию Пауль нельзя склонять, а мужскую – необходимо.

В сочетании с родовым словом район название Черемушки не склоняется. Верно: в районе Черемушки, из района Черемушки.

Однокорневые значит образованные от одного корня, то же самое, что однокоренные.

Поскольку оба названия имеют в дательном падеже одну и ту же форму, определить затруднительно.

Правильно: во Фрунзенском районе. Перед формами слов, начинающимися сочетаниями «в, ф + согласная», последовательно выступает предлог во (ср.: во вторник, во Франции). Написание в данном случае отражает произношение.