При официальном титуловании правильно: Патриарх Московский и всея Руси. Вне такого употребления слово патриарх пишется со строчной, например: патриарх Кирилл, прием у патриарха.
Не в официальных текстах верно написание со строчной буквы: патриарх.
Неофициально Вы продублировали официальный титул. Он, как правило, сокращается: прошла встреча папы и патриарха.