Кавычки нужны: музей «Палаты бояр Романовых».
Название должности пишется со строчной буквы.
Оба варианта возможны согласно правилам.
По общему правилу в названии этого музея с большой буквы пишется первое слово и входящее в состав названия имя собственное: Палаты бояр Романовых.
Сочетание утвержден членом общественной палаты употребляется только в значении "утвержден человеком, являющимся членом общественной палаты".
Это ошибка.
Оба варианта возможны.