Да, эти слова являются однокоренными.

Возможны такие варианты переноса: от-чиз-на; оте-че-ство.

А разве есть такой орден? Если есть, то нужно посмотреть написание в учредительных документах ордена.

Правило то же самое. С прописной буквы могут писаться некоторые нарицательные существительные в контекстах, где им приписывается особый высокий смысл: Родина, Отечество, Отчизна, Свобода, Добро, Честь, Человек, Учитель, Мастер и т. п.

Слово смерть – общеупотребительное и стилистически нейтральное, а слово кончина – высокое, книжное. Учитывая, что прилагательное безвременный тоже отмечается словарями пометой высок., сочетание безвременная кончина представляется более предпочтительным.

Название в кавычках не склоняется: община «Сестры Марии».

Варианты различаются по смыслу. Видимо, правильнее: экземпляр, подписанный (обратите внимание, что нужно поставить запятую).

Это притяжательное прилагательное.

Правильно: Татьяной Тычиной.