Употребительны варианты: заточить, наточить, поточить, отточить карандаш (но: отточенный карандаш  в значении "предельно острый").

Такая проверка не лишена оснований, т. к. знаменитый и знамя – родственные слова: знаменитый – производное от знамя < *znamen ''знак' (знаменитый буквально – отмеченный знаком, ознаменованный). Но однокоренными в современном русском языке слова знаменитый и знамя не являются, поэтому букве закона, требующего проверять безударную гласную ударной в том же корне, такая проверка не соответствует.

Правильнее всего сказать, что без контекста ответить на такой вопрос нельзя. Но, вероятнее всего, речь идет о втором сочетании - экспонаты выставки.

Правильное название этого состояния – стокгольмский синдром – отмеченный в последние десятилетия ХХ века психологический феномен, заключающийся в том, что захваченные террористами заложники через некоторое время начинают отождествлять себя с похитителями и сочувствовать их интересам и требованиям. Синдром получил название стокгольмского после захвата заложников в шведской столице в 1973 году, поэтому название «синдром Хельсинки» («хельсинкский синдром») неправильно (считается, что оно получило распространение после того, как было ошибочно использовано в американском фильме «Крепкий орешек»).

Лучше: отмеченные.

Да, верно, здесь причастие отмеченных не имеет определяемого существительного и принимает на себя функции этого существительного. Запятая перед причастным оборотом в этом случае не ставится.

Запятая не нужна. Первый союз или связывает две однородные части сложного предложения. В этом случае запятая между частями не ставится.