Правильно: пошли в бассейн, были в бассейне.
Такое употребление некорректно. Возможный вариант: встречаемся у бассейна, сидеть у бассейна.
Верно: пойти в бассейн. В разговорной речи в значении "начать заниматься в бассейне" - пойти на бассейн.
Возможны варианты: с мягким [c'] и твердым [с]. Первый вариант предпочтительнее.
Правильно: в бассейн.
Верен второй вариант.