Ударение падает на первый слог: осколок кОсти.

Да, нужно поставить запятую.

Справочники указывают, что названия республик согласуются со словом республика, если они оканчиваются на -ия и -ея, т. е. склоняются (такова грамматическая норма). Однако в официальной речи эти рекомендации не соблюдаются; названия республик, выступающие в функции приложения, как правило, не изменяются по падежам: в Республику Северная Осетия – Алания, по Республике Южная Осетия.

Правильно: перелом кости.

Верно: нет остриёв.

Ударение остается на корне: до ко́сти.

Да, следует поставить запятую.

Географические названия: остров Путятина, остров Аскольд.

Правильно в именительном падеже: остриё. Вот как склоняется это слово: остриё, острия, острию, остриём, на острие (обратите внимание: в форме предложного падежа на конце е, не ё!). Во множественном числе: острия, остриёв, остриям, острия, остриями, на остриях.