Слитное написание частицы НЕ с последующим прилагательным корректно.
Предпочтительно: (нет) носков, но допустимо и носок (прежде этот вариант запрещался).
Правильно: в новом году.
Да, в этом случае слово новый должно быть написано с маленькой буквы.
Возможны оба варианта. При наличии паузы можно поставить интонационное тире. Выбор за автором.
Это выражение не является фразеологизмом.