Слитное написание частицы НЕ с последующим прилагательным корректно.
Предпочтительно: (нет) носков, но допустимо и носок (прежде этот вариант запрещался).
Да, в этом случае слово новый должно быть написано с маленькой буквы.
Правильно: в новом году.
Корректная пунктуация: Пытаться вспомнить, рабочий сегодня день или можно остаться в кровати, тоже не хотелось.
Это выражение не является фразеологизмом.
Буквально: не запачкаться, не замараться. В переносном смысле: не запятнать репутацию.