Слитное написание частицы НЕ с последующим прилагательным корректно.
Правильно: раненный ножом.
Предпочтительно: (нет) носков, но допустимо и носок (прежде этот вариант запрещался).
Да, в этом случае слово новый должно быть написано с маленькой буквы.
Правильно: в новом году.
Глаголы остаться и оставаться различаются видом, что отражается и в их значениях. Остаться — глагол совершенного вида, обозначает факт завершенного действия, указывает на достижение результата (хотя бы в данный момент), например, когда после происшествия или события кто-то остался живым. Оставаться — глагол несовершенного вида, указывает на длительность или привычное состояние, например, когда кто-то продолжает быть живым в течение какого-либо времени.
Корректная пунктуация: Пытаться вспомнить, рабочий сегодня день или можно остаться в кровати, тоже не хотелось.
