Это слово пока не зафиксировано в нормативных словарях русского языка, поэтому пока нельзя говорить о «правильном» и «неправильном» написании. Слово продолжает осваиваться языком.

Следует писать с большой буквы: Анапский район.

Правильно с прописной (большой) буквы.

Рекомендуем такой вариант: передало в собственность Аургазинского муниципального района Республики Башкортостан. 

Корректно дефисное написание, так как прилагательное образовано от названия населенного пункта, включающего имя и фамилию (Бободжан Гафуров). Ср.: Лев-Толстовский район (от названия поселка Лев Толстой). См. также правило (пункт 3). 

Нет, названия районов в кавычки не заключаются: район Бескудниково.

Поскольку оба названия имеют в дательном падеже одну и ту же форму, определить затруднительно.

В сочетании с родовым словом район название Черемушки не склоняется. Верно: в районе Черемушки, из района Черемушки.