Предпочтительно: мной, вариант мною допустим, но считается устаревшим.
Корректно написание Мышиный король (имя собственное, выраженное прилагательным, с последующим родовым словом). Ср.: Маленький принц, Снежная королева, Спящая красавица, Скупой рыцарь и др.
Да, мужская фамилия Король склоняется. Правильно: Королю Евгению.
Нет, в этом слове корень весн- и окончание -а.
Если слово веган в предложении выступает как обращение, то правилен первый вариант (например: Мы пойдем в ресторан. А ты, веган?). Если веган — сказуемое (то есть вопрос задается, чтобы узнать, называет ли человек себя веганом), то правилен второй вариант.
Да, склонение мужской фамилии Король обязательно (женская фамилия не склоняется).