Правильно: обучение (чему?) написанию изложения.
Допустимо: обучение через Интернет, в Интернете, с помощью Интернета.
Какой смысл вкладывается в это словосочетание?
Оба варианта верны.
Если имеется в виду, что людей учат водить мотоцикл, то верно: обучение вождению мотоцикла.
Грамматически верно: Только белым снегом стал весь белый свет. Употребление формы именительного (винительного) падежа не соответствует синтаксическим нормам современного русского языка.
Корректно: в заочной форме.