Какие затруднения при склонении этого имени Вы испытываете?
Верно в ед. ч.
Вне контекста предложение не вполне понятно. Поэтому нельзя дать однозначный ответ о пунктуации. Запятая нужна, если слова какая есть не являются сказуемым. Если это сказуемое, то следует писать без запятой.
Правильно: заведующая кафедрой.
Оба варианта верны.
Мужская фамилия склоняется, женская – нет.
Запятая поставлена верно.