Рекомендуем склонять как неодушевленное.
В этом случае также используется прописная буква: Андреевский крест.
Предпочтительно в кавычках: «лежачий полицейский».
Предпочтительно написание в кавычках.
Название этой организации пишется без кавычек, правильно: Красный Крест. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.
Корректно без запятой.