Правильно: бояться кого-чего. Кошка боится мышки.
Правильно: У нас хороший директор – Сокова. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».
В этимологическом словаре М. Фасмера высказано предположение, что кошка могло быть образовано от слова коша — уменьшительно-ласкательного к кот (подобно тому как образуются Маша от Марья, Паша от Павел и т. д.).
В современном русском языке эти слова однокоренными не является (да и их этимологическое родство небесспорно, хотя вероятно).
Если определение относится к обоим существительным, то сочетание будет восприниматься однозначно с определением в форме множественного числа.
Правильно: мурлычет, мурлыкает.
Пожалуйста, сформулируйте вопрос.
См. в «Непростых словах».