Думаем, что противопоказаний к повторному рукопожатию нет. Хотя вопросы по русскому языку нам ближе :)
Кавычки в этом случае нужны. Также рекомендуем склонять название, когда оно используется без родового слова (команда): В этом году «Хогвартсу» не поздоровится.
Это глагол зиждиться.
Мы не выполняем домашние задания. Прочитайте, пожалуйста, учебник.
Запятая (между частями сложносочиненного предложения) ставится.