Следует писать раздельно: общественно полезный.
Корректно: общественно активный (раздельно). Ср.: общественно значимый, общественно опасный, общественно полезный.
Раздельное написание используется всегда, когда реализуется значение "для общества, в обществе". Если же реализуется значение "общественный и еще какой-то", то слово пишется через дефис: общественно-культурный, общественно-исторический, общественно-политический. Заметим, что в таком случае (при дефисном написании) компоненты слова можно поменять местами (культурно-общественный, историко-общественный) или соединить союзом И (общественный и культурный, общественный и исторический).
Прилагательное ставится во множественном числе в тех случаях, когда необходимо подчеркнуть, что определение относится к обоим однородным членам. Например: положить мелко нарезанные зелень и мясо (иначе будет неясно, следует ли резать мясо). В приводимом Вами примере такой необходимости нет, поэтому определение может стоять как в форме единственного, так и в форме множественного числа.
Корректно: проезд в общественном транспорте. Но: можно добраться куда-либо на общественном транспорте.
Правильно раздельное написание.
Это сочетание пишется раздельно.
Возможны оба варианта, выбор часто зависит от контекста.
Верны оба варианта.
Оба варианта возможны.
В этих словосочетаниях наречие и последующее прилагательное пишутся раздельно.
