Согласно словарям, глаголы обегать и оббегать имеют одинаковое значение, но глагол оббегать носит разговорный характер. Когда именно возник этот глагол, сказать сложно, но он встречается в опубликованном в 1872 году романе Николая Ахшарумова "Концы в воду".
Правильно: не обращать внимания.
Верно: перестала обращать внимание.
Предпочтительно: не обращать внимания.
Верно: не обращать внимания.
Верно: не стоит обращать внимания. Второй вариант характерен для разговорной речи.
Поскольку глагол обретать несовершенного вида, от него нельзя образовать деепричастие совершенного вида. Но можно от глагола обрести: обретя.