Лучше: дни рождения филиалов на правом и левом берегу.
В названиях улиц, площадей, переулков, проспектов и пр. с большой буквы пишутся все слова, кроме родовых терминов (т. е. самих слов улица, площадь и т. п.), служебных слов, а также слов года, лет. Правильно: улица Левый Берег, улица Первооткрывателей Башкирской Нефти.
Корректен вариант с родительным падежом.
Да, с большой: Южный берег Крыма.
Есть причастие с зависимыми словами. Причастного оборота, если под этим термином понимать распространенное определение, нет.
Согласно правочнику под ред. В. В. Лопатина, следует писать без кавычек: эколого-экономическая модель берег — море.
1. Сложносочиненное предложение.
2. Сложноподчиненное предложение. Придаточная часть присоединяется при помощи подчинительного союза что.