Правильно: с 2 июня (с цифрой), со второго июня (при записи числительного буквами).
Правильно: 9 июня объявлено днем траура.
Верно: Двадцать второго июня тысяча девятьсот сорок первого года началась Великая Отечественная война.
См. в Непростых словах.
Запятая поставлена правильно.
Верно: 20 июня вступил в силу закон. 20 июня начала работать комиссия. При этом: С 20 июня закон в силе. С 20 июня комиссия работает в штатном режиме.