Если вешалку придумала фирма, а не братья, то правильно: вешалку придумала фирма "Братья Тонет".
Форма множественного числа винительного падежа: сонеты. Форма множественного числа родительного падежа: сонетов.
Да, верно.
Корректно: Мы скажем «нет» этой инициативе.
Предпочтительно: Для чеканки монет необходимо два штампа...
Запятая нужна.
В данном случае верно: продолжающей. Но, поскольку в одном предложении использовано два причастных оборота, к тому же есть нанизывание родительных падежей, рекомендуем перестроить предложение: Эти памятные монеты являются десятой парой монет из серебра, продолжающей серию, которая должна способствовать лучшему пониманию национальных обычаев.