Если имеется в виду город Стаханов, то верно: В Стаханове открылась новая фабрика.
Корректно написание без кавычек: Новая Москва, Большая Москва.
Правильно: Лиля, Лили, Лиле, Лилю, Лилей, о Лиле.
Правильно: Лилечка.
Правильно в официальной речи: новый губернатор. В разговорной речи - новая губернатор.
Тату – несклоняемое существительное среднего рода: такое новое тату.