Правильно: чёрт-те (что, какой, где, куда и т. п.). Написание можно проверить в окне «Искать на Грамоте» (набрав черт*).
Нет, так сказать нельзя. Правильно на кой чёрт или какого чёрта, за каким чёртом.
В Полном академическом справочнике под ред. В. В. Лопатина есть параграф, посвященный косой черте (категория одушевлённости/неодушевлённости, проблема слитных/раздельных написаний). Однако в нем не учтено употребление косой черты между словом и словосочетанием или между словосочетаниями. В практике письма принято не отделять пробелами от слеша отдельные слова, но отделять словосочетания.
Оба выражения существуют и употребляются.
Запятая не нужна: злой как чёрт – устойчивое сочетание.
Любое несклоняемое существительное. Например, пальто, метро, Замбези.