Да, это устойчивое выражение, указанная запятая не нужна.
Правильно: ни стыда ни совести.
Нужно склонять оба слова.
В значении 'осуществлять' верен второй вариант.
Сочетание вести дозор неудачно. Можно нести дозор, стоять или находиться в дозоре, уйти, выйти в дозор.
Оба варианта правильны.
Правильно: вести из думы.
Да, верно.