Правильно: Сколько Иван ни прибавлял шагу, расстояние между преследуемыми и им ничуть не сокращалось.

Корректно раздельное написание: ни в коем случае не допустимо. Слова ни в коем случае можно отнести к числу конструкций, усиливающих отрицание. Ср.: ничуть не допустимо, вовсе не допустимо.

Ничтоже сумняшеся - "ничуть не сомневаясь". В современном русском языке это выражение имеет оттенок иронии ("не подумав, не поразмыслив предварительно").

Тем не менее - союз или наречное выражение, не является вводным словом.

ТЕМ НЕ МЕНЕЕ, союз и наречное выражение

1. Союз. То же, что «но, однако». Синтаксические конструкции с союзом «тем не менее» выделяются знаками препинания, обычно запятыми.

Хотя письменная отчетность о поступающих в лазарет и возвращающихся в эскадроны лошадях и лежала на мне и барон требовал большого порядка по этой части, тем не менее смотреть за лазаретом не входило в круг моих непременных обязанностей. А. Фет, Семейство Гольц.

2. Наречное выражение. То же, что «все-таки, несмотря на это». Не требует постановки знаков препинания.

Мюллер долго наблюдал за тем, как медленно, еле заметно, но тем не менее неуклонно лучи двигались по комнате. Ю. Семёнов, Экспансия-I. Вместо уроков географии ходит в гости к знакомой кокотке, что тем не менее ничуть не вредит ее образованию. Н. Тэффи, Французский роман. Несмотря на то, что Ягозин был кровным детищем Петербурга, дышал со дня рождения воздухом Невского проспекта и сосал молоко охтенской кормилицы, он весь тем не менее состоял из одной быстроты и юркости. Д. Григорович, Карьерист.

Построение фразы ничуть не мешает слитному написанию :)

Если имеется в виду профессия модели, то, конечно, предлог нужен: модели с обложек.

В Вашем примере - перед скобкой.

Верно: ничтоже сумняшеся или сумняся. Это выражение означает "ничуть не сомневаясь" или (иронически) "не подумав, не размышляя предварительно".

Частица не входит в состав сочетаний, близких по значению к частицам: вовсе не, вряд ли не, далеко не, едва не, едва ли не, нисколько не, ничуть не, отнюдь не, разве не, чуть не, чуть ли не; не более чем, не более как, не более и не менее как.

Поэтому верно: Я далеко не Пушкин, не Есенин...